t > 1 において (t − 1)ẋ − x + 1 = t の解 x(t) をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   方程式を整える。 定数項を右辺へ移す： $(t-1)\dot{x}-x=t-1.$ こう書くと右辺が $t-1$ のきれいな倍数になり、方程式全体がこれから畳み込まれることの手がかりになる。

2. 2

   標準的な線形の形に正規化する。 $t>1$ なので $t-1$ で割ってよい： $\dot{x}-\frac{1}{t-1}x=1,$ これは $\dot{x}+p(t)x=q(t)$ で $p(t)=-\dfrac{1}{t-1}$、$q(t)=1$ とした形である。

3. 3

   積分因子を作る。 $\mu(t)=e^{\int p\,dt}=e^{-\ln(t-1)}=\frac{1}{t-1},$ ここで $t-1>0$ なので $\ln(t-1)$ に絶対値は要らない。

4. 4

   両辺に掛けて積の微分法を見抜く。 $\frac{\dot{x}}{t-1}-\frac{x}{(t-1)^2}=\frac{1}{t-1}\ \Longleftrightarrow\ \left(\frac{x}{t-1}\right)^{\!\prime}=\frac{1}{t-1}.$

5. 5

   積分して元に戻す。 $\frac{x}{t-1}=\ln(t-1)+C\ \Longrightarrow\ x(t)=(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C\bigr).$

6. 6

   代入して確かめる。 $x=(t-1)(\ln(t-1)+C)$ から $\dot{x}=\ln(t-1)+C+1$ となるので、 $(t-1)\dot{x}-x+1=(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C+1\bigr)-(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C\bigr)+1=(t-1)+1=t.$ この等式は任意の $C$ で成り立つので、これが解の全体である。