x が y に近いときの ln(x/y) の有用な近似を求め、次の補正項も与えよ。

Step-by-step solution

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   商を小さな摂動の形に直す。 $x=y+\Delta$ と書き、$\Delta=x-y$ は $y$ に比べて小さいとする。すると

   $\frac{x}{y}=1+\frac{\Delta}{y},\qquad\text{よって}\qquad \ln\!\left(\frac{x}{y}\right)=\ln\!\left(1+u\right),\quad u=\frac{x-y}{y}.$

   となる。この量 $u$ は $x$ の $y$ に対する相対変化である。問題を $u$ の言葉に置き換えることで、たった 1 つの級数展開ですべてが片づく。

2. 2

   対数を $u=0$ のまわりで展開する。 マクローリン展開は

   $\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}-\cdots,\qquad |u|<1.$

   である。定数項がないのは $\ln1=0$ を反映しており、主要係数 $1$ は $u=0$ における $\frac{d}{du}\ln(1+u)$ の値である。

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   1 次近似を読み取る。 主要項だけを残すと

   $\boxed{\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{y}}$

   となる。これは「対数の差は変化率を近似する」というよく知られた主張そのものである。$3\%$ の上昇なら対数の変化はおよそ $0.03$ になる。

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   2 次の補正を加える。 項を 1 つ多く残すと

   $\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{y}-\frac12\left(\frac{x-y}{y}\right)^{2}.$

   となる。この補正は $x>y$ のとき常に負であり、1 次の見積もりが上昇分の対数を系統的に過大評価することを意味する——対数関数が上に凸だからである。

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   別の展開中心と誤差の大きさに触れる。 $y$ ではなく $x$ のまわりで展開すると $\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{x}$ となり、こちらは値を過小評価する。2 つの片側の見積もりは真値を挟むので、中点で割るほうがどちらよりも精度がよい。数値では $x=10.3$、$y=10$ のとき、厳密値は $0.0295588$、1 次の見積もりは $0.03$（誤差 $1.5\%$）、2 次の見積もりは $0.029550$（誤差 $0.03\%$）である ✓。