A = x i + y j - z k、B = 3x i + 2y j + z k とする。A × B の y と x に関する混合2階偏微分を、点 (1, 2, 1) で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   先に外積、あとで微分する。 外積を成分ごとに微分できるのは成分が出そろってからなので、まず行列式

   $\vec A\times\vec B=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ x&y&-z\\ 3x&2y&z\end{vmatrix}$

   を計算する。もう1つの方法、すなわち積の微分法 $\partial_x(\vec A\times\vec B)=\partial_x\vec A\times\vec B+\vec A\times\partial_x\vec B$ を使うのも正しいが、ここでは手間が増える。

2. 2

   行列式を成分ごとに展開する。

   $\mathbf i:\ (y)(z)-(-z)(2y)=yz+2yz=3yz$
   $\mathbf j:\ -\big[(x)(z)-(-z)(3x)\big]=-\big[xz+3xz\big]=-4xz$
   $\mathbf k:\ (x)(2y)-(y)(3x)=2xy-3xy=-xy$

   よって

   $\vec A\times\vec B=3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k$

   $\mathbf j$ の項の前に付く符号の反転は余因子展開の一部で、最もよくあるミスの元である。

3. 3

   $y$ と $z$ を定数とみて $x$ で微分する。

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf i-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k$

   $\mathbf i$ 成分には $x$ がまったく含まれないので、ただちに消える。

4. 4

   その結果を $y$ で微分する。

   $\frac{\partial}{\partial y}\left(-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf j-1\,\mathbf k=-\mathbf k$

   生き残った項はすべて1次だったので、2階微分は定ベクトルになる。すなわち答えは $(1,2,1)$ を含めどの点でも $-\mathbf k$ である。点の座標は最後まで必要なかった。答案にはそのことをはっきり書いておくとよい。

5. 5

   順序を入れ替えてクレローの定理で検算する。 先に $y$ で微分すると $3z\,\mathbf i-x\,\mathbf k$ となり、続いて $x$ で微分すると $-\mathbf k$ になる。2つの順序は一致しており、多項式（したがって滑らかな）ベクトル場では必ずそうなる。