曲線 y^2 - 2y + x^2 = 0、y^2 - 4y + x^2 = 0、x = 0、y = x*sqrt(3) で囲まれた面積 S を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの曲線が円であることを見抜く。 平方完成すると $x^2+y^2-2y=0$ は $x^2+(y-1)^2=1$ となり、中心 $(0,1)$、半径 $1$ の円である。同様に $x^2+y^2-4y=0$ は $x^2+(y-2)^2=4$ となり、半径 $2$、中心 $(0,2)$ の円である。どちらも原点を通り、そこで $x$ 軸に接する。

2. 2

   極座標に変換する。 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ とすると $r^2-2r\sin\theta=0\Rightarrow r=2\sin\theta$、$r^2-4r\sin\theta=0\Rightarrow r=4\sin\theta$ となる。原点を通る円はまさにこの簡潔な極形式をもつので、ここでは極座標が正しい座標系である。

3. 3

   2 本の直線を角度に変換する。 $x=0$ は半直線 $\theta=\tfrac{\pi}{2}$ である。直線 $y=x\sqrt3$ は $\tan\theta=\sqrt3$ なので $\theta=\tfrac{\pi}{3}$ である。したがって領域は $\tfrac{\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}$、$2\sin\theta\le r\le 4\sin\theta$ という円環状の扇形になる。

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   極座標での面積積分を立てる。 $S=\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi/2}\!\!\int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta} r\,dr\,d\theta=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{(4\sin\theta)^2-(2\sin\theta)^2}{2}\,d\theta=6\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta$ である。

5. 5

   次数を下げる公式を使う。 $\sin^2\theta=\tfrac{1-\cos 2\theta}{2}$ なので $\displaystyle\int\sin^2\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin 2\theta}{4}$ である。

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   上端と下端で評価する。 $\theta=\tfrac{\pi}{2}$ では $\tfrac{\pi}{4}-0=\tfrac{\pi}{4}$、$\theta=\tfrac{\pi}{3}$ では $\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sin(2\pi/3)}{4}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{8}$ である。その差は $\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{\sqrt3}{8}$ で、$6$ を掛けると $S=\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{3\sqrt3}{4}$ が得られる。

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   数値で確認する。 $\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{3\sqrt3}{4}=1.570796+1.299038=2.869834$ であり、$6\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta$ をシンプソン法で評価しても $2.869834$ となって小数第 6 位まで一致する。