x = −2 から x = 2 までの (x² cos(x/2) + 1/2)·√(4 − x²) の定積分を求め、数値でも示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   プラス記号のところで積分を分ける。 2 つの部分はまったく性格が異なる：

   $I=\underbrace{\int_{-2}^{2}x^{2}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx}_{J}+\frac12\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.$

   先に分けておけば、初等的な面積と本物の特殊関数の積分を混ぜずに済む。

2. 2

   簡単なほうを図形的に求める。 $[-2,2]$ 上の $y=\sqrt{4-x^{2}}$ のグラフは半径 $2$ の円の上半分なので

   $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{\pi(2)^{2}}{2}=2\pi,\qquad \frac12(2\pi)=\pi.$

3. 3

   $J$ をベッセルモーメントとして認識する。 ポアソンの積分表示より、$z=ab$ として

   $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\cos(bx)\,dx=\frac{\pi a}{b}J_{1}(ab).$

   これを $b$ で 2 回微分すると $-x^{2}$ が下りてくるので、$a=2$、$b=\tfrac12$、$z=1$ とし、恒等式 $\frac{d}{dz}\bigl(z^{-1}J_{1}\bigr)=-z^{-1}J_{2}$ と $\frac{d}{dz}\bigl(z^{-2}J_{2}\bigr)=-z^{-2}J_{3}$ を用いると

   $J=\pi a^{4}\left(\frac{J_{2}(z)}{z^{2}}-\frac{J_{3}(z)}{z}\right)=16\pi\bigl(J_{2}(1)-J_{3}(1)\bigr).$

4. 4

   漸化式で書き換える。 $J_{3}(1)=4J_{2}(1)-J_{1}(1)$ なので、同じ量は

   $J=16\pi\bigl(J_{1}(1)-3J_{2}(1)\bigr).$

   とも書ける。$J_{1}(1)=0.4400506$、$J_{2}(1)=0.1149035$ を使うと $J=16\pi(0.0953401)=4.7923177$ となる。

5. 5

   2 つの部分を足す。

   $I=\pi+16\pi\bigl(J_{2}(1)-J_{3}(1)\bigr)=3.1415927+4.7923177=7.9339103.$

   もとの被積分関数を高精度で数値求積すると $7.933910333308135$ となり、15 桁まで一致する。よくある誤った道筋は $J=8\pi J_{2}(1)-4\pi J_{1}(1)$ と書くもので、これは $-2.6420$ となって $I\approx 0.4996$ を与える——符号も桁も違う。この組み合わせがポアソンの公式の $b$ に関する 2 階微分ではないからである。