n を 1 から無限大まで動かしたときの 1/n² の和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   値を探す前に収束を確認する。 これは $p=2$ の $p$ 級数 $\sum n^{-p}$ である。積分判定法で $\int_{1}^{\infty}x^{-2}dx=1$ と比較すると有限なので、この級数は収束する——発散する $p=1$ の調和級数とは対照的である。和を問うことに意味が生じるのは、これが片付いてからである。

2. 2

   大雑把に評価して答えの見当をつける。 $n\ge 2$ では $\dfrac{1}{n^{2}}<\dfrac{1}{n(n-1)}$ であり、右辺は望遠鏡的に $1$ に和がとれるので、初項より後ろの部分は $1$ 未満である：

   $1<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<2$

   つまり答えは 1 と 2 の間にある——誤った閉じた形に対する有用な歯止めになる。

3. 3

   オイラーの発想を思い出す：$\dfrac{\sin x}{x}$ を根で因数分解する。 関数 $\dfrac{\sin x}{x}$ は $x=0$ で $1$ に等しく、$x=\pm k\pi$ で消える。ここから次の無限積が示唆される：

   $\frac{\sin x}{x}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^{2}}{k^{2}\pi^{2}}\right)$

   これは超越関数を、根から書き下した多項式のように扱う跳躍であり、この議論を有名にしたのはまさにこの一歩である。

4. 4

   $x^{2}$ の係数を比べる。 積を展開すると $x^{2}$ の係数は $-\displaystyle\sum_{k\ge 1}\frac{1}{k^{2}\pi^{2}}$ である。一方テイラー展開 $\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^{2}}{6}+\cdots$ より、同じ係数は $-\dfrac16$ である。等置すると：

   $\frac{1}{\pi^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac16$

5. 5

   和について解く。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1.6449340668$

   これはステップ 2 の評価の内側に無理なく収まる。実際に 200 万項の部分和を計算すると $1.6449335668$ となり、足りない $5\times 10^{-7}$ はちょうど $\approx 1/N$ の尾部にあたる ✓。現代の記法ではこれは $\zeta(2)$ である。