保護区のウサギの個体数は 800 匹から始まり、その大きさに比例する速さで増える。増加定数は年あたり 0.12 である。微分方程式を解き、5 年後の個体数と倍加時間を求めよ。

Step-by-step solution

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   変数を分離する。 $\dfrac{dP}{dt}=0.12P$ は変数分離形である。$P$ を一方の辺に、$t$ をもう一方の辺に集める：

   $\frac{dP}{P}=0.12\,dt$

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   両辺を積分して P について解く。

   $\ln|P|=0.12t+C\quad\Longrightarrow\quad P(t)=Ae^{0.12t}$

   $P(0)=800$ を当てはめると $A=800$ なので、

   $P(t)=800e^{0.12t}$

   となる。

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   t = 5 で計算する。

   $P(5)=800e^{0.12(5)}=800e^{0.6}=800(1.82212)=1457.7$

   ウサギは整数なので、丸めて

   $P(5)\approx 1458\ \text{匹}$

   となる。

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   倍加の条件を立てる。 2 倍になるとは $P(t)=2P(0)$ ということなので、

   $800e^{0.12t}=1600\quad\Longrightarrow\quad e^{0.12t}=2$

5. 5

   倍加時間を求める。

   $0.12t=\ln 2\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln 2}{0.12}=\frac{0.69315}{0.12}=5.776\ \text{年}$

   $\boxed{P(5)\approx 1458\ \text{匹};\qquad t_{\text{double}}\approx 5.78\ \text{年}}$

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   倍加時間が初期の大きさによらないことに注意する。 $\tfrac{P(t)}{P(0)}=e^{kt}$ では $800$ が約分されるので、$k=0.12$ で指数関数的に増える個体数はどれも$5.78$ 年ごとに 2 倍になる。照合すると、$5.776$ 年後にモデルは $800e^{0.12(5.776)}=800e^{0.6931}=1600$ を与える ✓。また $5$ 年後の比 $\tfrac{1458}{800}=1.822$ は $2$ をわずかに下回っており、倍加時間が $5$ 年をやや超えることと整合する。