f(t) = t × e^(2t) のラプラス変換を求め、その収束領域を述べよ。

Step-by-step solution

1. 1

   すでに知っている変換から出発する。 べき乗の基本公式から

   $\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad\text{よって}\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}\quad (s>0).$

   この問題で残っているのは指数関数の因子だけであり、それにはまさにそのための規則が用意されている。

2. 2

   第1移動定理を適用する。 この定理は、関数に$e^{at}$を掛けるとその変換が平行移動することを述べる：

   $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a),\qquad F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.$

   $f(t)=t$のとき$F(s)=\tfrac{1}{s^{2}}$、$a=2$なので、$s$をすべて$s-2$に置き換えて：

   $\mathcal{L}\{t\,e^{2t}\}=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

3. 3

   $t$倍の規則で検算する。 独立な別の道筋として、$g(t)=e^{2t}$（その変換は$\tfrac{1}{s-2}$）に対して$\mathcal{L}\{t\,g(t)\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{g(t)\}$を使うと：

   $-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-2}\right)=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

   異なる2つの定理が同じ式を与えるのは、答えが正しいことの強い証拠である。

4. 4

   定義から直接確かめる。 $u=t$、$dv=e^{-(s-2)t}dt$として部分積分すると：

   $\int_{0}^{\infty}t\,e^{2t}e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty}t\,e^{-(s-2)t}\,dt=\left[\frac{-t\,e^{-(s-2)t}}{s-2}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s-2}\int_{0}^{\infty}e^{-(s-2)t}dt=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

5. 5

   収束領域を述べる。 境界項が消え、最後の積分が収束するのは指数$-(s-2)$が負のとき、すなわち

   $s-2>0\;\Longleftrightarrow\;s>2$

   のときだけである。これは答えの式そのものからも見て取れる：この変換は$s=2$に2位の極をもち、収束領域は常に最も右にある極より右側に位置する。