x → 0 のときの √(x³ + 4x²)/x の極限を、存在するなら求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形を確認する。 根号も$x$もともに$0$に向かうので、商は$\frac{0}{0}$であり簡約が必要である。

2. 2

   根号の中を因数分解する。 $x^3+4x^2=x^2(x+4)$なので、$x+4\ge 0$である限り$\sqrt{x^3+4x^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{x+4}$となる。

3. 3

   平方根を正しく扱う。 決定的な点は$\sqrt{x^2}=|x|$であって$x$ではないことである。$\sqrt{x^2}=x$と書いてしまうのが、この問題の答えが$2$であるかのように見せる誤りである。

4. 4

   商を簡約する。 $\frac{|x|}{x}$は$x>0$で$+1$、$x<0$で$-1$なので、$\frac{|x|\sqrt{x+4}}{x}=\operatorname{sgn}(x)\sqrt{x+4}$となる。

5. 5

   2つの片側極限を取る。 右からは$\lim_{x\to 0^+}=+\sqrt{4}=2$、左からは$\lim_{x\to 0^-}=-\sqrt{4}=-2$である。

6. 6

   結論する。 片側極限はどちらも有限だが値が異なるので、両側極限は存在しない。この関数は原点で大きさ$4$の跳びをもつ。