x → 2 のときの (4x² + 7x − 2)/(3x² + 8x + 2) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に、目標の点で分母を調べる。 有理関数は分母が0でないところではどこでも連続であり、その場合の極限は関数値そのものになる。よって最初の問いは、$3x^2+8x+2$が$x=2$で0になるかどうかである。

2. 2

   分母を計算する。 $3(2)^2+8(2)+2 = 12+16+2 = 30 \neq 0.$0でないので不定形は生じない——因数分解も共役もロピタルの定理も不要である。

3. 3

   分子を計算する。 $4(2)^2+7(2)-2 = 16+14-2 = 28.$

4. 4

   商を作る。 $\lim_{x\to2}\frac{4x^2+7x-2}{3x^2+8x+2} = \frac{28}{30}.$

5. 5

   分数を約分する。 $28$と$30$は因子$2$を共有するので、$\frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0.9\overline{3}.$

   $14 = 2\cdot7$と$15 = 3\cdot5$には共通因数がないので、これが既約である。

6. 6

   代入が通用しない点も見ておく。 分母の零点は$x = \tfrac{-8\pm\sqrt{64-24}}{6} = \tfrac{-4\pm\sqrt{10}}{3} \approx -0.2792$と$-2.3874$である。これらの点では別途の処理が必要になるが、$x=2$では関数はまったく行儀がよい。