x、y とも −R から R までの正方形上で、x を √((R² + y²)(R² − x²)) で割ったものの二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   被積分関数を x の部分と y の部分に分ける。 平方根が因数分解できるので $\frac{x}{\sqrt{(R^2+y^2)(R^2-x^2)}} = \frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{R^2+y^2}}.$ 2 つの変数が混ざるところはどこにもない。

2. 2

   分離性を使って二重積分を積に分ける。 長方形 $[-R,R]\times[-R,R]$ の上で $I = \left(\int_{-R}^{R}\frac{x\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)\left(\int_{-R}^{R}\frac{dy}{\sqrt{R^2+y^2}}\right).$ どちらかの因子が 0 なら積分全体が 0 になるので、まず簡単なほうを調べる。

3. 3

   x の積分が広義積分であることと、それが収束することを確かめる。 $x\to\pm R$ で被積分関数が発散するので、対称性を持ち出す前に収束を確立しておかねばならない。$[0,R]$ の上では $\int_0^{R}\frac{x\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}} = \left[-\sqrt{R^2-x^2}\right]_0^{R} = 0+R = R,$ と有限値になる。鏡像の側も同じ計算で $-R$ に収束する。

4. 4

   奇関数の対称性を使う。 $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}$ は $f(-x)=-f(x)$ を満たし、$[-R,R]$ は $0$ について対称である。両半分がともに絶対収束するので $\int_{-R}^{R}f(x)\,dx = -R+R = 0.$

5. 5

   もう一方の因子が有限であることを確認して結論する。 $\displaystyle\int_{-R}^{R}\frac{dy}{\sqrt{R^2+y^2}} = 2\operatorname{arsinh}(1) = 2\ln\!\left(1+\sqrt2\right)$ は正の有限値である。有限値に 0 を掛ければ 0 なので $I = 0.$

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   収束の確認がなぜ大切だったかを述べる。 もし $x$ の積分が発散していたら（たとえば代わりに $\tfrac{x}{R^2-x^2}$ だったなら）、両半分は $+\infty$ と $-\infty$ になり、「対称区間上の奇関数」は値 $0$ を正当化しない——積分がそもそも存在しないことになる。