f(x) = x/(x² + 1) を微分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   商の微分法を組み立てる。 $u=x$、$v=x^2+1$ とすると

   $f'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\qquad u'=1,\qquad v'=2x$

   である。分子の順序が重要で、分子の導関数 × 分母 − 分子 × 分母の導関数 であって、逆にしてはならない。また $v=x^2+1\ge1>0$ がいたるところ成り立つので、$f$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義され微分可能である。

2. 2

   公式に代入する。

   $f'(x)=\frac{(1)\left(x^2+1\right)-(x)(2x)}{\left(x^2+1\right)^2}$

3. 3

   分子を整理する。

   $x^2+1-2x^2=1-x^2$

   なので

   $f'(x)=\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}$

   となる。$x^2$ の項が部分的に打ち消し合う——これが煩雑な式をきれいな式に変える。

4. 4

   答えから極値の位置を直接読み取る。 分母はつねに正なので、$f'$ の符号は $1-x^2=(1-x)(1+x)$ の符号に等しい。これは $(-1,1)$ で正、その外で負なので、$x=-1$（そこで $f=-\tfrac12$）で極小、$x=1$（そこで $f=\tfrac12$）で極大となる。

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   両端での挙動を押さえる。 $|x|\to\infty$ では分母が $x^2$ の速さで、分子が $x$ の速さで増えるので $f(x)\to0$ となる。$x$ 軸が両方向の水平漸近線であり、$\pm\tfrac12$ が最大値・最小値である。

6. 6

   数値で検証する。 刻み $10^{-7}$ の対称差分商と閉じた形を比べると、$x=0.4$ ではどちらも $0.624257$、$x=-1.7$ ではどちらも $-0.124900$、$x=3.3$ ではどちらも $-0.069957$ となる ✓。