z が 7 から 1、y が 4 から 2、x が 3 から 2 の範囲で、4x + 5y − 19z の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   すべての積分限界が逆向きであることに気づく。 どの積分も大きい値から小さい値へ向かっている。$\int_{a}^{b}=-\int_{b}^{a}$ なので符号の反転が 3 回起こり、$(-1)^{3}=-1$ となる。すなわち答え全体は、すべての限界を昇順にした同じ積分の符号を変えたものである。最初にすべて入れ替えてもよいし、以下のようにそのまま慎重に計算してもよい。

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   まず $x$ と $y$ を定数扱いして $z$ について積分する。 $z$ に関する原始関数は $4xz+5yz-\tfrac{19}{2}z^{2}$ なので

   $\int_{7}^{1}\left(4x+5y-19z\right)dz=\left(4x+5y-\tfrac{19}{2}\right)-\left(28x+35y-\tfrac{931}{2}\right)=-24x-30y+456$

   順序が重要である。最も内側の微分 $dz$ を、最も内側の限界の組を使って先に積分する。

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   その結果を $y$ について積分する。 原始関数は $(-24x+456)y-15y^{2}$ である。

   $\int_{4}^{2}\left(-24x-30y+456\right)dy=\left(-48x+852\right)-\left(-96x+1584\right)=48x-732$

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   $x$ について積分する。 原始関数は $24x^{2}-732x$ である。

   $\int_{3}^{2}\left(48x-732\right)dx=\left(96-1464\right)-\left(216-2196\right)=-1368+1980=612$

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   符号を解釈する。 被積分関数は $z$ が 7 まで届く領域上で $-19z$ の項に支配されるので、限界を昇順にした積分は大きく負になる。3 回の反転がそれを正に転じている。たとえば $z$ の限界だけを入れ替えれば $-612$ になる。

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   数値的なリーマン和で確認する。 符号付きの刻み幅 $dz=-6/120$、$dy=-2/120$、$dx=-1/120$ を使った $120^{3}$ 点の中点和はちょうど $612.0$ を返す ✓。被積分関数が 1 次式なので中点則は厳密であり、一致は完全である。