a、b を定数、a ≠ 0 とするとき、a·y″ + b·y = 0 の一般解を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   方程式を正規化する。 $a$ で割ると（$a \ne 0$ なので正当である）

   $y'' + \frac{b}{a}y = 0$

   となる。効いてくるのは比 $\tfrac{b}{a}$ ただ 1 つで、$a$ と $b$ の個々の値はもう二度と現れない。

2. 2

   特性方程式を立てる。 $y = e^{rx}$ を代入し、0 でない $e^{rx}$ を約分すると：

   $r^2 + \frac{b}{a} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -\frac{b}{a}$

   方程式に $y'$ の項がないので $r$ の 1 次の項も現れない——これは減衰のない場合であり、解は純虚数か純実数のどちらかで、両方が混ざることはない。

3. 3

   b/a > 0 の場合：純虚数の解。 このとき $r = \pm i\sqrt{b/a}$ であり

   $y = C_1\cos\!\left(\sqrt{\tfrac{b}{a}}\,x\right) + C_2\sin\!\left(\sqrt{\tfrac{b}{a}}\,x\right)$

   となる。これは角振動数 $\omega = \sqrt{b/a}$ の単振動である——ばね・質点の方程式 $m\ddot y + ky = 0$ がまさにこの場合にあたる。

4. 4

   b/a < 0 の場合：2 つの実数解。 このとき $r = \pm\sqrt{-b/a}$ であり

   $y = C_1e^{\sqrt{-b/a}\,x} + C_2e^{-\sqrt{-b/a}\,x}$

   となる。一方は増大し、もう一方は減衰する。同値な形として $y = A\cosh\!\left(\sqrt{-b/a}\,x\right) + B\sinh\!\left(\sqrt{-b/a}\,x\right)$ とも書ける。

5. 5

   b = 0 の場合：0 の重解。 方程式は $y'' = 0$ に退化し、その解は直線

   $y = C_1x + C_2$

   である。これは $r = 0$ の重解の場合で、$e^{0x} = 1$ と $xe^{0x} = x$ が 2 つの独立な解になる。

6. 6

   1 つの場合を検証する。 $a = 2$、$b = 8$ とすると $\tfrac{b}{a} = 4$ で $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$ となる。$y = \cos 2x$ を代入すると $y'' = -4\cos 2x$ なので $2(-4\cos 2x) + 8\cos 2x = 0$。正しい。