−8 × cos(0.8 × t²) の t についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   初等的な原始関数が存在しないことを見抜く。 リウヴィルの定理により、$\cos(at^{2})$には初等関数で表せる原始関数がない——$\int e^{-t^{2}}dt$を非初等的にしているのと同じ障害である。したがって目標は置換によって式を「見つける」ことではなく、そのために用意された標準的な特殊関数を使って答えを表すことになる。

2. 2

   フレネル余弦積分の定義を思い出す。 標準的な正規化は

   $C(x)=\int_{0}^{x}\cos\!\left(\frac{\pi u^{2}}{2}\right)du,$

   であり$C(0)=0$である。$\int\cos(at^{2})\,dt$の形の積分はすべてこの形に尺度変換できる。やるべきことは正しい変数変換を見つけることだけである。

3. 3

   偏角を尺度変換する。 $0.8=\tfrac45$と書き、$\frac{\pi u^{2}}{2}=\frac45 t^{2}$となる$u=\lambda t$を探す。これから

   $\frac{\pi\lambda^{2}}{2}=\frac{4}{5}\;\Longrightarrow\;\lambda=\sqrt{\frac{8}{5\pi}},$

   が定まり、$dt=\frac{du}{\lambda}$であることから一般に

   $\int\cos(at^{2})\,dt=\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\;C\!\left(\sqrt{\frac{2a}{\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

4. 4

   $a=\tfrac45$を代入して定数を整理する。 前につく因子は

   $\sqrt{\frac{\pi}{2\cdot\frac45}}=\sqrt{\frac{5\pi}{8}},$

   なので、被積分関数の前にある$-8$を掛けると：

   $-8\sqrt{\frac{5\pi}{8}}=-\frac{8}{2\sqrt2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{10\pi}.$

   この整理、すなわち$8/\sqrt8=\sqrt8=2\sqrt2$の部分が、ここで唯一間違えうる代数計算である。

5. 5

   答えを書き、導関数で確かめる。 結果は

   $\int-8\cos(0.8t^{2})\,dt=-2\sqrt{10\pi}\;C\!\left(\sqrt{\frac{8}{5\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

   微分すると$\frac{d}{dt}C(\lambda t)=\lambda\cos\!\left(\frac{\pi\lambda^{2}t^{2}}{2}\right)=\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}\cos(0.8t^{2})$であり、$-2\sqrt{10\pi}\cdot\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}=-2\sqrt{16}=-8$ ✓。なお「0,8」のコンマが桁区切りのつもりだったとすれば被積分関数は$\cos(8t^{2})$になり、答えは$-2\sqrt{\pi}\,C\!\left(\tfrac{4t}{\sqrt{\pi}}\right)$となる。