arctan(x) を cosh(x) で割ったものの、x について 0 から無限大までの積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   取りかかる前に積分の収束を確認する。 $x\to\infty$のとき$\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$である一方$\operatorname{sech}x\sim 2e^{-x}$なので、被積分関数は指数的に減衰する。$0$の近くでは$x$のように振る舞う。したがって積分は有限であり、しかも上からは$\tfrac{\pi}{2}\int_0^{\infty}\operatorname{sech}x\,dx=\tfrac{\pi^2}{4}\approx2.467$で抑えられる。

2. 2

   $1/\cosh x$を交代する指数級数に展開する。 $x>0$に対して、

   $\frac{1}{\cosh x}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}}=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n e^{-(2n+1)x}$

   これが成り立つのは、全区間で$e^{-2x}<1$であり、積分が生きている範囲すべてで等比級数が収束するからである。

3. 3

   項別に積分する。 和と積分を交換すると

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^{\infty}e^{-(2n+1)x}\arctan x\,dx$

4. 4

   ラプラス変換型の各項を部分積分で簡約する。 $u=\arctan x$、$dv=e^{-ax}dx$と取ると境界項は両端で消え、

   $\int_0^{\infty}e^{-ax}\arctan x\,dx=\frac{1}{a}\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}}{1+x^{2}}\,dx$

   が残る。したがって

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\int_0^{\infty}\frac{e^{-(2n+1)x}}{1+x^{2}}\,dx$

5. 5

   初等的な閉じた形が存在しないことを受け入れる。 内側の積分は余弦積分・正弦積分を組み合わせた補助関数であって初等関数ではないので、上の級数こそが正直な意味での厳密解である。小数値は数値的に出すほかない。

6. 6

   独立な2つの方法で数値評価する。 $[0,80]$を7つの区間に分割したガウス・ルジャンドル数値積分では

   $I\approx 1.0986875$

   となる。上の級数を$400$項まで足すと$1.0986859$となり、6桁まで一致する ✓。どちらもステップ 1 で得た上限$\pi^2/4=2.467$の内側に十分収まっている。（$I$は$\ln 3=1.0986123$に近いが、等しくはない点に注意。）