第 n 項が 1/(n(n + 2)) である無限級数の、n = 1 から無限までの和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   部分分数に分ける。 $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}$ から $1=A(n+2)+Bn$ が得られ、$A=\frac12$、$B=-\frac12$ となるので $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$ である。

2. 2

   間隔が 2 であることに注目する。 隣り合う項どうしで打ち消し合う場合とは違い、負の部分は 2 つ先の正の部分と打ち消し合う。つまり先頭と末尾に残るのは 1 項ずつではなく 2 項ずつである。

3. 3

   部分和を書く。 $S_N=\frac{1}{2}\left[\left(1+\frac12\right)-\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right)\right]$ となる。先頭で打ち消されずに残るのが $\frac11,\frac12$、末尾で打ち消されずに残るのが $\frac{1}{N+1},\frac{1}{N+2}$ だからである。

4. 4

   極限をとる。 $N\to\infty$ のとき末尾の 2 つの分数は消えるので、$S=\frac{1}{2}\left(1+\frac12\right)$ が残る。

5. 5

   計算する。 $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$ である。

6. 6

   数値で検算する。 最初の $2\times10^{6}$ 項を足すと $0.7499995$ となり、小数第 6 位まで $\frac34$ と一致する。