n = 1 から無限大までの x^n / (n × n!) の和の、x → −∞ における極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   和に名前をつけ、どこでも収束することを確認する。

   $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,n!}$

   とおく。分母の$n!$のおかげで収束半径は無限大になるので、$S$はすべての実数$x$で定義され、項別に微分してよい。

2. 2

   微分して厄介な因子$n$を消す。

   $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n\,n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\frac{e^{x}-1}{x}$

   $n$が約分され、残った級数は指数関数の級数から$n=0$の項を引いたものになる。この一手がこの問題を扱えるものにしている。

3. 3

   $S(0)=0$を使って積分し直す。 $S$の各項は$x=0$で消えるので、

   $S(x)=\int_{0}^{x}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt$

   被積分関数は$t=0$でも行儀がよく、そこでは$1$に近づくので、特異点を心配する必要はない。

4. 4

   左の遠方で被積分関数を調べる。 $t\to-\infty$では$e^{t}\to 0$なので、

   $\frac{e^{t}-1}{t}\approx\frac{-1}{t}$

   となり、これは$t<0$で正であり、しかも$1/|t|$程度でしか減衰しない——積分が落ち着くには遅すぎる。

5. 5

   積分が発散すると結論する。 $S(x)=-\int_{x}^{0}\frac{e^{t}-1}{t}dt$と書いて$\int_{x}^{0}\frac{-1}{t}dt=\ln|x|\to+\infty$と比べると、積分は限りなく大きくなるので

   $\lim_{x\to-\infty}S(x)=-\infty$

6. 6

   対数的な速さを数値で確認する。 級数を直接足すと$S(-10)=-2.8798$、$S(-20)=-3.5729$、$S(-30)=-3.9784$。$\gamma=0.5772$として漸近的な予測$-\left(\ln|x|+\gamma\right)$は$x=-30$で$-3.9784$を与える ✓——発散はするが、その速さは対数程度でしかない。