0 ≤ x ≤ 2π、0 ≤ y ≤ 2、y² ≤ z ≤ 4 で定まる領域上で、yz の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積分限界に矛盾がないか確認する。 $0 \le y \le 2$ では $y^2 \le 4$ なので、内側の範囲 $y^2 \le z \le 4$ は全域で空でなく、$y = 2$ でのみ 1 点につぶれる。領域は放物柱面 $z = y^2$ と平面 $z = 4$ に挟まれた立体を、$x$ 方向に押し出したものである。

2. 2

   下端が変数になっている状態で z について積分する。

   $\int_{y^2}^{4} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_{y^2}^{4} = y\left(\frac{16}{2} - \frac{y^4}{2}\right) = 8y - \frac{y^5}{2}$

   下端を 2 乗すると $(y^2)^2 = y^4$ になる。2 乗を忘れると $y^2$ が残り、答えが変わってしまう。

3. 3

   y について 0 から 2 まで積分する。

   $\int_0^2 \left(8y - \frac{y^5}{2}\right) dy = \left[4y^2 - \frac{y^6}{12}\right]_0^2 = 16 - \frac{64}{12} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

4. 4

   x について積分する——被積分関数はもう x に依存しない。 簡約された式には $x$ が現れないので、この段階は $x$ の区間の長さを掛けるだけである。

   $\int_0^{2\pi} \frac{32}{3}\,dx = \frac{32}{3}\cdot 2\pi = \frac{64\pi}{3}$

5. 5

   答えを述べ、妥当性を確かめる。

   $\iiint yz\,dV = \frac{64\pi}{3} \approx 67.02$

   $z$ が $0$ から $y^2$ まで動く姉妹問題と比べてみる。そちらは $\frac{32\pi}{3}$ になり、2 つを足すと $0 \le z \le 4$ の直方体全体での積分、すなわち $2\pi \cdot \int_0^2 y\,dy \cdot \int_0^4 z\,dz = 2\pi \cdot 2 \cdot 8 = 32\pi$ に等しくなるはずである。実際 $\frac{64\pi}{3} + \frac{32\pi}{3} = 32\pi$ となり、完全な整合性の確認になる。