x → ∞ のときの (2^x − 3^x)/(2^x + 3^x) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形を診断する。 $2^x$も$3^x$も$\infty$に向かうので、商は$\tfrac{\infty-\infty}{\infty+\infty}$——不定形である。なおここでロピタルの定理を使うのは筋が悪い：微分しても$\ln 2$と$\ln 3$という因子が増えるだけで同じ形が再生産され、いつまでも簡単にならない。

2. 2

   どちらの指数関数が支配的かを決める。 $x$が大きいところでは底を比べれば決着がつく。$3>2$なので、底$\tfrac23<1$より

   $\frac{2^{x}}{3^{x}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\longrightarrow 0\quad\text{（}x\to\infty\text{）}$

   となる。したがって分子でも分母でも$3^x$が支配項である。

3. 3

   分子と分母を支配項$3^{x}$で割る。 これが鍵となる式変形である——最大に増大する量で割ることが不定性を取り除く：

   $\frac{2^{x}-3^{x}}{2^{x}+3^{x}}=\frac{\left(\frac23\right)^{x}-1}{\left(\frac23\right)^{x}+1}$

4. 4

   極限を取る。 $t=\left(\tfrac23\right)^{x}\to 0^{+}$と書くと：

   $\lim_{t\to 0^{+}}\frac{t-1}{t+1}=\frac{0-1}{0+1}=-1$

   よって極限は$-1$である。直観的には$-3^x$がすべてを飲み込み、比は$\tfrac{-3^x}{3^x}=-1$に近づく。

5. 5

   近づき方を数値で確認し、逆向きも考える。 $x=50$では商は$-0.9999999969$、$x=200$では機械精度の範囲で$-1$になる$\checkmark$。$\tfrac{t-1}{t+1}<0$でありながら$t\to 0$につれて$-1$へ下がっていくので、近づき方は上からである。対照的に$x\to-\infty$では役割が入れ替わり——$2^x$が支配的になり——同じ式は$+1$に近づく。