f(t) = t · sin(3t) の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   構造が積であることを見抜く。 $f$ は $u = t$ と $v = \sin(3t)$ の積なので、積の微分法が使える：

   $\frac{d}{dt}\left[uv\right] = u'v + uv'$

   どちらの因子も先に簡単にはできないので、これを迂回する近道はない。

2. 2

   簡単なほうの因子を微分する。

   $u = t \quad\Longrightarrow\quad u' = 1$

3. 3

   合成のほうの因子を合成関数の微分で処理する。 $\sin(3t)$ は内側の関数 $3t$ に外側の関数 $\sin$ を当てたもので、内側の導関数は $3$ である：

   $v = \sin(3t) \quad\Longrightarrow\quad v' = 3\cos(3t)$

   この因子 $3$ を忘れることが、ここで最も多い誤りである。

4. 4

   積の微分法で組み立てる。

   $f'(t) = (1)\sin(3t) + t\left(3\cos(3t)\right) = \sin(3t) + 3t\cos(3t)$

5. 5

   数値で検証する。 $t = 0.7$ では、式から $\sin(2.1) + 2.1\cos(2.1) = 0.863209 - 1.060177 = -0.196967$ となる。刻み $10^{-6}$ で $t = 0.7$ における $f$ の中心差分をとると $-0.196967$ が返り、小数第 6 位まで一致する。また $f'(0) = \sin 0 + 0 = 0$ であり、原点の近くで $t\sin 3t \approx 3t^2$ となってそこが平らな極小になる事実と合っている。