x が無限大に近づくときの sqrt(36x^2 + 7x + 49) - 6x の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形の種類を特定する。 $x\to\infty$ のとき平方根は $\sqrt{36x^2}=6x$ のようにふるまうので、この式はともに発散する 2 つの量の差である。

   $\sqrt{36x^2+7x+49}\to\infty,\qquad 6x\to\infty\;\Longrightarrow\;\infty-\infty$

   この形にはそれ自体では値がない。「どちらも $6x$ のように増大する」ことから $0$ と結論することはできない。効いてくるのは補正項の差だからである。

2. 2

   共役式を掛ける。 根号から 1 次式を引いた形に対する定石は、同じ 2 つの項の和を掛けて、かつ割ることである。

   $\sqrt{A}-6x=\frac{\left(\sqrt A-6x\right)\left(\sqrt A+6x\right)}{\sqrt A+6x}=\frac{A-36x^2}{\sqrt A+6x},\qquad A=36x^2+7x+49$

   こうすると分子から根号が完全に消える。

   $A-36x^2=7x+49$

3. 3

   分子と分母を $x$ で割る。 $x>0$ では $\sqrt{36x^2+7x+49}=x\sqrt{36+\tfrac{7}{x}+\tfrac{49}{x^2}}$ と書けるので

   $\frac{7x+49}{\sqrt{36x^2+7x+49}+6x}=\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}$

   となる。根号の外へ $x$ を $-x$ ではなく $+x$ として取り出せるのは $x\to+\infty$ だからであって、$x\to-\infty$ なら符号が反転して答えはまったく変わる。

4. 4

   各部分の極限をとる。 $\tfrac{1}{x}$ を含む項はすべて消える。

   $\lim_{x\to\infty}\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}=\frac{7}{\sqrt{36}+6}=\frac{7}{12}$

5. 5

   数値と一般則で検算する。 大きな値を代入すると、$x=10^4$ で式の値は $0.583739$、$x=10^6$ で $0.583337$ となり、$\tfrac{7}{12}=0.58\overline{3}$ に収束している $\checkmark$。覚えておく価値のある近道もある。$a>0$ のとき $\sqrt{a^2x^2+bx+c}-ax$ の極限は常に $\tfrac{b}{2a}$ であり、ここでは $\tfrac{7}{2\cdot 6}=\tfrac{7}{12}$ となる。