x → ∞ のときの ln(100x¹⁰⁰ + 5x + 3) / ln(2x²⁰ + 3x² − 2) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形を見きわめる。 2つの対数はどちらも$+\infty$に向かうので、商は$\tfrac{\infty}{\infty}$型である。ロピタルの定理でも解けるが有理関数の山ができてしまう。$\ln$の構造を利用するほうがはるかにすっきりする。

2. 2

   各多項式を最高次項で置き換える。 $x\to\infty$のとき、

   $100x^{100}+5x+3\sim100x^{100},\qquad2x^{20}+3x^{2}-2\sim2x^{20}$

   この置き換えが対数の中で許されるのは、無視した部分の寄与が$\ln\left(1+o(1)\right)\to0$という加法的に消える項であって、乗法的な誤差ではないからである。

3. 3

   $\ln(ab)=\ln a+\ln b$で各対数を分ける。

   $\ln\left(100x^{100}\right)=\ln100+100\ln x,\qquad\ln\left(2x^{20}\right)=\ln2+20\ln x$

   指数が$\ln x$の係数として下りてくる——ここで次数$100$と$20$が主導権を握る。

4. 4

   分子と分母を$\ln x$で割る。 $\ln x\to\infty$なので：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\ln100}{\ln x}+100}{\frac{\ln2}{\ln x}+20}=\frac{0+100}{0+20}=5$

   最高次の係数$100$と$2$は完全に消える——対数の中では定数倍は加法的な定数にすぎず、$\ln x$に比べれば無視できるからである。

5. 5

   一般則を述べて確認する。 次数$p$と$q$の多項式に対して、対数の比の極限は単に$\tfrac{p}{q}$になる——ここでは$\tfrac{100}{20}=5$である ✓。数値では$x=10$で$5.0244$、$x=100$で$5.0123$、$x=10^{10}$で$5.0025$、$x=10^{100}$で$5.00025$ ✓——遅いが紛れもなく$5$に収束している。この遅さこそ対数の極限に特徴的なものである。