f(x) が [a, b] 上でリーマン可積分ならば、a から b までの f(x)cos(px) dx の積分が p → ∞ のとき 0 に近づくことを証明せよ。

Step-by-step solution

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   正しい近似のクラスを選ぶ。 リーマン可積分な $f$ は有界であり、階段関数で挟むことができるので、任意の $\varepsilon>0$ に対して $\int_a^b\left|f(x)-\varphi(x)\right|dx<\varepsilon .$ を満たす階段関数 $\varphi$ が存在する。ここで分割 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ に対し、各 $(x_{k-1},x_k)$ 上で $\varphi(x)=c_k$ である。階段関数が適切なクラスなのは、区間上の $\int\cos(px)$ を厳密に書き下せるからである。

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   階段関数の場合を厳密に片づける。 各小区間で $\int_{x_{k-1}}^{x_k}\cos(px)\,dx=\frac{\sin(px_k)-\sin(px_{k-1})}{p},$ なので $\int_a^b\varphi(x)\cos(px)\,dx=\frac1p\sum_{k=1}^{n}c_k\left[\sin(px_k)-\sin(px_{k-1})\right].$ となる。

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   階段関数の場合を 1/p で抑える。 各角括弧の絶対値はたかだか $2$ なので $\left|\int_a^b\varphi(x)\cos(px)\,dx\right|\le\frac{2}{p}\sum_{k=1}^{n}|c_k| .$ が成り立つ。分割は $\varepsilon$ を選んだ時点で固定されるので和は定数であり、この評価全体は $p\to\infty$ のとき $0$ に近づく。振動が効いているのがここである。各小区間の内部で隣り合う部分が打ち消し合い、その代償として因子 $1/p$ が出る。

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   一般の積分を主要項と誤差に分ける。 $\int_a^b f\cos(px)\,dx=\int_a^b \varphi\cos(px)\,dx+\int_a^b (f-\varphi)\cos(px)\,dx .$ と書く。$|\cos(px)|\le 1$ なので、第 2 項は $\left|\int_a^b (f-\varphi)\cos(px)\,dx\right|\le\int_a^b|f-\varphi|\,dx<\varepsilon$ を $p$ について一様に満たす。

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   2 つの評価を組み合わせる。 前の段階により、$p>P$ を満たすかぎり $\left|\int_a^b\varphi\cos(px)\,dx\right|<\varepsilon$ となる $P$ が存在する。すると $p>P$ のとき $\left|\int_a^b f\cos(px)\,dx\right|<2\varepsilon$ となる。$\varepsilon>0$ は任意だったので、極限は $0$ である。$\sin(px)$ でも同じ議論が通り正弦版が得られ、両者を合わせたものがリーマン・ルベーグの補題である。