a と b を定数として、微分方程式 dy/dx + ay = b を解け。

Step-by-step solution

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   標準形を確認する。 この方程式はすでに $y'+P(x)y=Q(x)$ の形をしており、係数は定数である：

   $P(x)=a,\qquad Q(x)=b$

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   積分因子を計算する。

   $\mu(x)=e^{\int a\,dx}=e^{ax}$

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   両辺に掛けて左辺をまとめる。

   $e^{ax}\frac{dy}{dx}+ae^{ax}y=be^{ax}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\left(e^{ax}y\right)=be^{ax}$

4. 4

   $a\neq 0$ を仮定して積分する。

   $e^{ax}y=\frac{b}{a}e^{ax}+C\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{b}{a}+Ce^{-ax}$

   $a$ で割っているからこそ、$a=0$ は別扱いが必要になる。

5. 5

   $a=0$ を扱う。 方程式は $\tfrac{dy}{dx}=b$ に退化し、その解は直線になる：

   $y=bx+C$

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   検算して意味を読み取る。 $a\neq 0$ のとき $y'=-aCe^{-ax}$、$ay=b+aCe^{-ax}$ なので $y'+ay=b$ $\checkmark$（$a=1.3$、$b=2.1$、$C=0.7$、$x=0.6$ で数値的にも確認済み）。定数 $\tfrac{b}{a}$ が平衡値であり、$a>0$ ならすべての解がそこへ減衰していく。ニュートンの冷却の法則や RC 回路の充電の背後にあるのが、まさにこの形である。