x→0 のときの sin(x)/x の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   形を確認する。 $x\to0$ のとき $\sin x\to0$ かつ $x\to0$ なので、代入すると $\tfrac00$ となり不定形である。この極限は代入では求まらないし、ロピタルの定理で求めるのも誠実ではない。導関数 $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ 自体が、普通はまさにこの極限を使って示されるからである。

2. 2

   幾何的な比較を用意する。 $0<x<\tfrac{\pi}{2}$ に対し、単位円の中の 3 つの面積を比べる。面積 $\tfrac12\sin x$ の三角形、面積 $\tfrac12x$ の扇形、そして面積 $\tfrac12\tan x$ のより大きい三角形である。各領域は前の領域を含むので

   $\frac12\sin x\le\frac12x\le\frac12\tan x.$

   となる。真ん中の項こそ弧度法が効いてくるところである。扇形の面積が $\tfrac12r^{2}x$ になるのは、$x$ をラジアンで測ったときだけである。

3. 3

   はさみうちの形に整理する。 全体を $\tfrac12\sin x>0$ で割ると $1\le\frac{x}{\sin x}\le\frac{1}{\cos x}$ となり、逆数をとると不等号の向きが逆になる。

   $\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1.$

   $\frac{\sin x}{x}$ も $\cos x$ も偶関数なので、同じ評価が $-\tfrac{\pi}{2}<x<0$ でも成り立ち、この議論は両側を一度に扱っている。

4. 4

   はさみうちの原理を適用する。 $x\to0$ のとき $\cos x\to1$ であり、定数のほうも $1\to1$ なので、挟まれた量には選択の余地がない。

   $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

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   数値で確かめ、ラジアンについて注意する。 ラジアンで計算すると、$x=0.1$ で比は $0.998334$、$x=0.01$ で $0.9999833$、$x=0.001$ で $0.99999983$ となり、下から $1$ に近づいていて評価 $\cos x\le\frac{\sin x}{x}$ と整合する ✓。もし $x$ を度で測ったなら極限は代わりに $\frac{\pi}{180}\approx0.01745$ となる。微積分をラジアンで行うのはまさにこのためである。