1.62482e^(−x/12.72238) + 2.85422 を x = 0 から x = 300 まで x について定積分せよ。

Step-by-step solution

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   別々に扱える 2 つの部分に積分を分ける。 被積分関数は減衰する指数関数と定数の和であり、積分は線形なので

   $\int_0^{300}\!\!\left(a\,e^{-x/k}+c\right)dx=a\int_0^{300}\!e^{-x/k}dx+c\int_0^{300}\!dx$

   と書ける。ここで $a=1.62482$、$k=12.72238$、$c=2.85422$ である。

2. 2

   指数関数の原始関数を求める。 $\dfrac{d}{dx}e^{-x/k}=-\dfrac{1}{k}e^{-x/k}$ なので、原始関数には $-k$ の因子がつく：

   $\int a\,e^{-x/k}dx=-ak\,e^{-x/k}+C,\qquad \int c\,dx=cx+C$

   よって $F(x)=-ak\,e^{-x/k}+cx$ である。

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   積分区間の端で評価して整理する。

   $F(300)-F(0)=ak\left(1-e^{-300/k}\right)+300c$

   下端での $-e^{-x/k}$ が $+1$ に変わる。減衰項の寄与が正の $ak$ になるのはそのためである。

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   数値を慎重に計算する。 減衰項の係数は

   $ak=1.62482\times12.72238=20.6715774716$

   であり、定数の部分は

   $300c=300\times2.85422=856.266$

   である。

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   指数の尾部が無視できることを示す。 $\dfrac{300}{12.72238}=23.5805$ であり、$e^{-23.5805}=5.743\times10^{-11}$ である。よって $1-e^{-300/k}=0.99999999994$ となり、$ak$ を変えるのは小数第 9 位だけ——この積分は事実上、無限区間での値 $ak+300c$ に達している。

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   足し合わせて結果を述べ、よくある取り違えを正す。

   $20.6715774716+856.266=876.9375774716$

   $876.93843$ という値が引かれることがあるが、これは $1.62482\times12.72238$ を $20.6724315116$ と誤って掛けたものである。正しい積は $20.6715774716$ である。

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   数値積分で検証する。 $[0,300]$ を 300 万分割した台形和は $876.9375775$ となり、閉じた形と小数第 7 位まで一致する ✓。