関数 y = f(x) が微分方程式 dy/dx = 3x^2 (y - 4) を満たす。f(0) = 6 のとき、特殊解を求めよ。

Step-by-step solution

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   変数分離形であることを見抜き、特別な解を確認する。 右辺は $x$ の関数と $y$ の関数の積なので、変数を分けられる。割る前に注意したいのは、$y=4$ が右辺を 0 にする定数解そのものだという点である。初期値 $f(0)=6\neq 4$ から、求める解はそれではないとわかるので、初期点の近くで $y-4$ で割ってよい。

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   変数を分離する。 $y$ をすべて左辺へ、$x$ をすべて右辺へ移す。

   $\frac{1}{y-4}\,dy=3x^{2}\,dx$

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   両辺を積分する。 左辺は対数、右辺は冪になる。

   $\int\frac{1}{y-4}\,dy=\int 3x^{2}\,dx\ \Longrightarrow\ \ln|y-4|=x^{3}+C$

   両辺の定数はまとめられるので、定数は 1 つで足りる。

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   指数をとって $y$ について解く。 両辺に $e^{(\cdot)}$ を施すと

   $|y-4|=e^{x^{3}+C}=e^{C}e^{x^{3}}$

   となる。$e^{C}$ は任意の正の定数であり、$y-4$ の符号は定数が負の値も取れるとすることで吸収できるので

   $y-4=Ke^{x^{3}}\ \Longrightarrow\ y=4+Ke^{x^{3}}$

   と書ける。ここで $K$ は任意の実数である（$K=0$ は特別な解 $y=4$ を与える）。

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   初期条件を適用する。 $x=0$、$y=6$ を代入し $e^{0}=1$ を使うと

   $6=4+K\cdot 1\ \Longrightarrow\ K=2$

   となる。したがって特殊解は

   $y=4+2e^{x^{3}}$

   である。

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   解が 2 つの要求を満たすことを検証する。 微分すると $\dfrac{dy}{dx}=2\cdot 3x^{2}e^{x^{3}}=6x^{2}e^{x^{3}}$ であり、一方 $3x^{2}(y-4)=3x^{2}\cdot 2e^{x^{3}}=6x^{2}e^{x^{3}}$ で一致する。$x=0.5$、$1.1$、$-0.8$ での中心差分も $3x^{2}(y-4)$ と小数第 5 位まで一致し、$y(0)=4+2=6$ も要求どおりである。