x → 3 のときの √(x² + 6x − 2) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   目標の点で根号の中身を調べる。 まず内側を評価する。問題の要は、そこで平方根が定義され連続であるかどうかだからである：

   $x^2+6x-2 \Big|_{x=3} = 9 + 18 - 2 = 25$

   これは正なので、その点の近傍で$\sqrt{\cdot}$は連続であり、代入は正当である。

2. 2

   極限を根号の中に入れる。 外側の関数が連続であれば、

   $\lim_{x\to 3}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to 3} g(x)}$

   が成り立つ。これが合成関数についての法則であり、この問題を一行で片づけてくれる段階である。

3. 3

   代入して整理する。

   $\sqrt{\lim_{x\to 3}(x^2+6x-2)} = \sqrt{25} = 5$

   取るのは主値の平方根なので、答えは$\pm 5$ではなく$+5$である。

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   この近道が通用しない場合にも触れておく。 もし根号の中身が負の値に近づいていたら実数の範囲で両側極限は存在せず、$0$に近づいていたら両側で関数が定義されているかを確認する必要があった。ここではどちらも起こらない——根号の中身$x^2+6x-2$は$x > -3 + \sqrt{11} \approx 0.317$のすべてで正であり、$x = 3$は余裕でその範囲に入っている。

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   数値で確認する。 $x = 2.99$では$\sqrt{8.9401+17.94-2} = \sqrt{24.8801} = 4.98800$、$x = 3.01$では$\sqrt{9.0601+18.06-2} = \sqrt{25.1201} = 5.01200$。2つの片側の値が$5$を挟み、そこへ寄っていく ✓。記号的に極限を取るとちょうど$5$になる。