sin(x) のマクローリン展開を 7 次の項まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $x=0$ における導関数の巡回を作る。 正弦の導関数は周期 4 で繰り返すので、係数は 4 段階のパターンに従う。

   $\sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad -\sin 0=0,\quad -\cos 0=-1,\quad \text{以下繰り返し}$

   したがって $f^{(n)}(0)$ は $0,1,0,-1$ を巡回する。

2. 2

   その値をマクローリンの公式に入れる。 $f(x)=\sum_{n\ge 0}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ において偶数階の導関数はすべて消え、奇数次だけが残る。

   $\sin x=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

   偶数次が現れないのは偶然ではない。$\sin(-x)=-\sin x$ よりこの関数は奇関数であり、奇関数は奇数次の項しかもてない。

3. 3

   階乗を計算する。

   $3!=6,\qquad 5!=120,\qquad 7!=5040$

   $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+O\!\left(x^9\right)$

4. 4

   一般項を書く。 閉じた形では

   $\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

   となり、すべての実数 $x$ で収束する——$(2k+1)!$ がやがてどんな固定の冪よりも速く増大するので、収束半径は無限大である。

5. 5

   精度を測る。 $x=1$ ラジアンでは打ち切りが

   $1-\frac16+\frac{1}{120}-\frac{1}{5040}=0.8414682\ldots$

   を与え、$\sin 1=0.8414710$ に対して誤差はおよそ $2.7\times 10^{-6}$ である——これは省略した次の項 $\tfrac{x^9}{9!}=\tfrac{1}{362880}\approx 2.76\times 10^{-6}$ と整合する。交代級数の評価により、誤差が最初に落とした項を超えることはない。