第 n 項が 1/(4n^2 - 1) である無限級数の、n = 1 から無限までの和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分母を因数分解する。 $4n^2-1$ は平方の差なので $(2n-1)(2n+1)$ となる。1 次式 2 つの積だと気づくことが、部分分数に分ければ打ち消し合うという合図になる。

2. 2

   部分分数に分ける。 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}$ とおく。分母を払うと $1=A(2n+1)+B(2n-1)$ となり、$n=\frac12$ とすると $A=\frac12$、$n=-\frac12$ とすると $B=-\frac12$ が得られる。

3. 3

   一般項を書く。 $\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$ である。

4. 4

   部分和を作る。 $S_N=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+1}\right)\right]$ となる。途中の分数はどれも正で 1 回、負で 1 回現れるので、残るのは最初と最後だけである。すなわち $S_N=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right)$ となる。

5. 5

   極限をとる。 $N\to\infty$ のとき $\frac{1}{2N+1}\to 0$ なので $S_N\to\frac12$ となる。

6. 6

   数値で検算する。 最初の $2\times10^{6}$ 項を足すと $0.49999988$ となり、閉じた形 $S_N=\frac12-\frac{1}{2(2N+1)}$ と整合する。