関数 f(x, y) = x^2 y + x e^(-xy) について、勾配ベクトルと、ベクトル (0, -1) の方向への方向微分を求めよ。

Step-by-step solution

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   公式を思い出し、方向ベクトルを確認する。 単位ベクトル $\mathbf v$ に対して、方向微分は内積 $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot \mathbf v$ で与えられる。ここでは $\|(0,-1)\|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1$ なので $\mathbf v$ はすでに単位ベクトルであり、規格化は必要ない。そうでなければ、まずその長さで割る必要があった。

2. 2

   $x$ で偏微分する。 項 $x^2y$ からは $2xy$ が出る。項 $xe^{-xy}$ には積の微分法と連鎖律の両方が必要で、$\partial_x e^{-xy}=-y e^{-xy}$ なので：

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(xe^{-xy}\right)=e^{-xy}-xy\,e^{-xy}.$

   よって

   $f_x=2xy+(1-xy)e^{-xy}.$

3. 3

   $y$ で偏微分する。 今度は $x$ が定数なので $x^2y$ からは $x^2$ が出て、$\partial_y e^{-xy}=-x e^{-xy}$ より第2項は $-x^2 e^{-xy}$ になる：

   $f_y=x^{2}-x^{2}e^{-xy}=x^{2}\left(1-e^{-xy}\right).$

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   勾配ベクトルを組み立てる。

   $\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2xy+(1-xy)e^{-xy}\\[2pt] x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)\end{pmatrix}.$

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   方向ベクトルと内積を取る。 $\mathbf v=(0,-1)$ は第1成分を消すので、生き残るのは $y$ についての偏微分だけで、しかも符号が反転する：

   $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot(0,-1)=-f_y=-x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)=x^{2}\left(e^{-xy}-1\right).$

   これは幾何的な意味とも一致する。$-y$ 方向に動くことは $y$ 軸を逆向きに進むことなので、変化率は $f_y$ の符号を変えたものになる。

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   数値で抜き取り検査する。 $(x,y)=(1.3,0.7)$ で中心差分を取ると $f_x\approx 1.856227$、$f_y\approx 1.009734$ となって公式と一致し、$D_{\mathbf v}f\approx-1.009734$ である。$(-2,1.5)$ では公式から $D_{\mathbf v}f\approx 76.342$ が得られ、これも数値微分と一致する。