x = sin(kt) + cos(kt) が微分方程式 x'' + k^2 x = 0 を満たすことを示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   確認の手順を組み立てる。 提示された関数が解であることを確かめるには、2 回微分して方程式に代入し、左辺が恒等的に 0 になることを見ればよい——標本点だけでなくすべての $t$ について、である。

2. 2

   連鎖律を使って 1 回微分する。 内側の関数は $kt$ でその微分は $k$ なので、各項に因子 $k$ が付く。

   $x'=k\cos(kt)-k\sin(kt)$

   符号の入れ替わりに注意する。$\sin$ を微分すると $+\cos$ だが、$\cos$ を微分すると $-\sin$ になる。

3. 3

   もう一度微分する。 各項にさらに $k$ が付き、符号がもう一度入れ替わる。

   $x''=-k^2\sin(kt)-k^2\cos(kt)$

   つまり 2 回微分すると $k^2$ が現れ、全体として符号が反転する——正弦と余弦の特徴である。

4. 4

   −k² をくくり出してもとの関数を見つける。

   $x''=-k^2\left(\sin(kt)+\cos(kt)\right)=-k^2x$

   括弧の中がちょうど $x$ だからである。

5. 5

   方程式に代入する。

   $x''+k^2x=-k^2x+k^2x=0\ \checkmark$

   この等式はすべての $t$ とすべての $k$ について成り立つので、この関数は正真正銘の解である。

6. 6

   物理的・構造的な意味を押さえる。 $x''+k^2x=0$ は単振動であり、$\{\cos(kt),\sin(kt)\}$ がその 2 次元の解空間をすべて張る——したがって $\sin(kt)+\cos(kt)$ は両方の係数がともに $1$ である解である。これは振幅と位相の形に $\sqrt2\sin\!\left(kt+\tfrac{\pi}{4}\right)$ と書き直せ、振幅が $\sqrt2$、周期が $\tfrac{2\pi}{k}$ であることがわかる。

7. 7

   数値で検証する。 $k=1.7$ とし、刻み $10^{-4}$ の 2 階中心差分で求めた $x''$ の値は、$t=0.3,\,1.1,\,-2.0$ において $-k^2x$ と有効数字 4 桁まで一致する ✓。また振幅・位相の形もすべての検証点でもとの式と一致する ✓。