n = 1 から無限までの、1 ÷ [√(n+1)(n+2) + (n+1)√(n+2)] の和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分母を因数分解する。 $n+2=\sqrt{n+2}\cdot\sqrt{n+2}$、$n+1=\sqrt{n+1}\cdot\sqrt{n+1}$ と書くと、分母は $\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)$ になる——いくら展開しても見えてこない形である。

2. 2

   残った根号の和を有理化する。 分子と分母に $\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$ を掛ける。$\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)=1$ なので、一般項は $\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}}$ になる。

3. 3

   分数を分ける。 分子の各項を分母で割ると $\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$ ——きれいな望遠鏡型の差になる。

4. 4

   部分和を書く。 途中の項がすべて隣と打ち消し合うので $S_N=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{N+2}}$ である。

5. 5

   極限をとる。 $N\to\infty$ のとき $\frac{1}{\sqrt{N+2}}\to 0$ なので、和は $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071$ である。

6. 6

   数値で検算する。 $2\times10^{6}$ 項を足すと $0.7063997$ となり、閉じた形が予測する $\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{2000002}}=0.7063997$ とぴったり一致する——尾の落ち方が遅いことまで含めて合っている。