a > 0 として、(x^2 + y^2 + z^2)^2 ≤ a^3 z で定まる領域の体積を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不等式を球座標に書き換える。 $x^2+y^2+z^2=\rho^2$、$z=\rho\cos\varphi$ とすると、定義する条件は

   $\rho^4\le a^3\rho\cos\varphi\;\Longleftrightarrow\;\rho^3\le a^3\cos\varphi\;\Longleftrightarrow\;\rho\le a\left(\cos\varphi\right)^{1/3}$

   となる。原点を除けば $\rho>0$ なので、$\rho$ が 1 つ約分できる。右辺には $\cos\varphi\ge 0$ が必要なので、立体はすべて上半空間 $0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2}$ にある——$a^3z\ge 0$ が $z\ge 0$ を強いるので、これは予想どおりである。

2. 2

   体積の積分を立てる。 この立体は（$\theta$ が現れないので）$z$ 軸まわりの回転体である。よって

   $V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^{a(\cos\varphi)^{1/3}}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

   となる。因子 $\rho^2\sin\varphi$ は球座標の体積要素であり、これを落とすのがこの積分での定番の誤りである。

3. 3

   動径方向に積分する——3 乗根が消える。 $\varphi$ を固定すると

   $\int_0^{a(\cos\varphi)^{1/3}}\rho^2\,d\rho=\frac{\left[a\left(\cos\varphi\right)^{1/3}\right]^3}{3}=\frac{a^3\cos\varphi}{3}$

   となる。ここがこの問題の勘所である。半径を 3 乗すると指数 $\tfrac13$ がちょうど打ち消され、扱いにくい境界がただのコサインに変わる。

4. 4

   天頂角の積分を行う。 残るのは教科書どおりの置換積分である。

   $\int_0^{\pi/2}\frac{a^3\cos\varphi}{3}\sin\varphi\,d\varphi=\frac{a^3}{3}\left[\frac{\sin^2\varphi}{2}\right]_0^{\pi/2}=\frac{a^3}{3}\cdot\frac12=\frac{a^3}{6}$

5. 5

   回転角ぶんを掛け、スケーリングを確認する。 $\theta$ の積分は $2\pi$ を与える。

   $V=2\pi\cdot\frac{a^3}{6}=\frac{\pi a^3}{3}$

   確認は 2 つある。次元から答えは $a^3$ に比例しなければならず、実際そうなっている——$a$ を $ka$ に置き換えると立体は各方向に $k$ 倍される。数値的には、$a=1$ として同じ体積を直方体 $[-1.2,1.2]^2\times[0,1.2]$ 上のモンテカルロ法で $(\rho^2)^2\le z$ を判定して見積もるとおよそ $1.045$ となり、$\tfrac{\pi}{3}\approx 1.0472$ と合う $\checkmark$。