任意の実数列が単調な部分列をもつことを証明せよ。

Step-by-step solution

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   適切な概念を定義する：ピーク。 添字 $n$ が数列のピークであるとは

   $a_n\ge a_m\quad\text{すべての }m>n$

   が成り立つこと、すなわちそれ以降の項が $a_n$ を超えないことをいう。どの添字もピークであるかないかのいずれかなので、証明全体はちょうど 2 つの場合に分かれる——この二分法が発想のすべてである。

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   場合 1：ピークが無限個ある。 それらを $n_1<n_2<n_3<\cdots$ と並べる。$n_k$ はピークであり $n_{k+1}>n_k$ なので、定義の性質から

   $a_{n_k}\ge a_{n_{k+1}}$

   がすべての $k$ について成り立つ。したがって $\{a_{n_k}\}$ は非増加部分列である。この場合はこれで終わりである。

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   場合 2：ピークが有限個しかない。 すべてのピークより大きい $N$ をとると、$n\ge N$ である添字 $n$ はピークではない。「ピークでない」の定義から、そのような各添字に対して

   $a_m>a_n$

   を満たす $m>n$ が存在する。

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   狭義増加部分列を帰納的に構成する。 $n_1=N$ とおく。$n_1$ はピークでないので $a_{n_2}>a_{n_1}$ となる $n_2>n_1$ が選べる。$n_2\ge N$ もピークでないので $a_{n_3}>a_{n_2}$ となる $n_3>n_2$ が選べ、以下同様に続く。こうして $n_1<n_2<n_3<\cdots$ が得られ

   $a_{n_1}<a_{n_2}<a_{n_3}<\cdots$

   すなわち狭義増加部分列ができる。

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   結論する。 どちらの場合にも単調部分列が存在し、この 2 つの場合で尽くされているので

   $\boxed{\text{どの実数列も単調部分列をもつ}}$

   が示された。

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   帰結と極端な場合を確認する。 有界な単調数列が収束するという事実と組み合わせれば、ただちにボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理が得られる。主張についての確認を 2 つ挙げる。$a_n=(-1)^n$ ではピークは偶数の添字（無限個）であり、定数——したがって非増加——の部分列 $1,1,1,\ldots$ が得られる。$a_n=n$ ではピークはまったく存在せず、場合 2 が増加部分列 $1,2,3,\ldots$ を与える。この定理が主張しているのは単調であって収束ではないことに注意したい。有界でない数列は単調部分列をもつが収束部分列はもたない。