n を 1 から無限まで動かしたときの 1/(n · 2ⁿ) の無限和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   求める前に収束を確かめる。 各項は正で $\frac{1}{n2^{n}} \le \frac{1}{2^{n}}$ であり、その和は収束する等比級数 $\sum 2^{-n} = 1$ である。したがってこの級数は収束し、その値は高々 $1$ である——最終的な答えと突き合わせるのに使える有用な上限である。

2. 2

   対数の級数（メルカトル級数）を思い出す。 $|x| < 1$ に対して

   $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$

   が成り立つ。これは等比級数 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n \ge 0} x^{n}$ を $0$ から $x$ まで項ごとに積分した原始関数である。

3. 3

   与えられた項をこの形に書き直す。 $2^{n}$ を 1 つの数の累乗の形に分けると

   $\frac{1}{n\,2^{n}} = \frac{\left(\tfrac12\right)^{n}}{n}$

   となるので、この級数は $x = \tfrac12$ とした $\sum_{n\ge1} \frac{x^{n}}{n}$ そのものであり、収束半径の内側に余裕をもって収まっている。

4. 4

   x = 1/2 を代入する。

   $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\tfrac12\right)^{n}}{n} = -\ln\left(1-\frac12\right) = -\ln\frac12$

5. 5

   対数を簡単にする。 $\ln\tfrac12 = -\ln 2$ なので

   $-\ln\frac12 = \ln 2$

   $\Longrightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,2^{n}} = \ln 2$

   となる。

6. 6

   数値で確認する。 最初の 200 項を足すと $0.6931471805599453$ となり、$\ln 2 = 0.6931471805599453$ ——倍精度の全桁で一致し、最初の手順で得た上限 $1$ も余裕をもって下回っている。