y = 2cos(x) について、定義域を答え、導関数を求めよ。

Step-by-step solution

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   定義域を決める。 余弦関数はすべての実数に対して定義されている——分母も偶数乗根も対数もなく、制限する要因がない——し、$2$ を掛けても何も変わらない。よって

   $\mathcal{D}=\mathbb{R}$

2. 2

   定数を外に出す。 定数倍の微分法則 $\dfrac{d}{dx}\left[cf(x)\right]=c\,f'(x)$ より、$2$ はそのまま外で待っていればよい：

   $y'=2\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos x\right)$

3. 3

   余弦を微分する。 標準的な導関数には負号がつく：

   $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

   この負号を落とすのが三角関数の微分で最も多い誤りである。（偏角はそのままの $x$ なので、ここでは合成関数の微分による因子は不要である。）

4. 4

   組み合わせる。

   $y'=2(-\sin x)=-2\sin x$

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   数値と構造の両面から検証する。 $h=10^{-6}$ の中心差分は $x=0.3$、$1.4$、$2.9$ で $-2\sin x$ と $10^{-6}$ 以内で一致する ✓。構造の確認：$y=2\cos x$ は $x=0,2\pi,\ldots$ で極大、$x=\pi,\ldots$ で極小になり、実際 $y'=-2\sin x$ は $\pi$ の倍数でちょうど 0 になる ✓。$y'$ の値域は $[-2,2]$ なので、曲線の傾きが最も急なのは $\pm2$ で、それは $x=\tfrac{\pi}{2}$ と $\tfrac{3\pi}{2}$ で達成される。