k を任意の実数とするとき、x = 0 のまわりでの (1 − x)^k のテイラー級数を求めよ。一般項と収束半径も答えよ。

Step-by-step solution

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   微分ではなく一般化二項定理を使う。 原理的にはマクローリン級数は $\sum\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$ だが、$f^{(n)}(x)=(-1)^{n}k(k-1)\cdots(k-n+1)(1-x)^{k-n}$ を手で求めるのは骨が折れる。二項級数は同じ結果をまとめて与えてくれる：

   $(1+t)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}t^{n},\qquad \binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!},$

   これは $|t|<1$ かつ任意の実数 $k$ に対して成り立つ——非負整数に限らない。

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   $t=-x$ を代入する。 必要な調整はこれだけである：

   $(1-x)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}(-x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\binom{k}{n}x^{n}.$

   展開に現れるすべての符号は、この因子 $(-1)^{n}$ から生じている。

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   最初の数項を書き出す。 係数を展開すると：

   $(1-x)^{k}=1-kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^{2}-\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^{3}+\cdots$

   よく知られた場合で確認する。$k=-1$ ではすべての係数 $(-1)^{n}\binom{-1}{n}$ が $1$ に等しく、等比級数 $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots$ が復元される ✓。

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   級数が有限で止まる場合に注意する。 $k$ が非負整数なら、因子 $(k-n)$ によって $n>k$ のすべてで $\binom{k}{n}=0$ となるので和は止まり、通常の有限の二項展開に帰着する——たとえば $(1-x)^{3}=1-3x+3x^{2}-x^{3}$ である。それ以外の $k$ では級数は本当に無限級数になる。

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   収束半径を述べ、数値で確かめる。 比の判定法により $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|\frac{k-n}{n+1}\right||x|\to|x|$ なので、級数は

   $|x|<1$

   で収束し、$|x|>1$ で発散する。端点での挙動は $k$ による（$k>0$ のときは両端で収束する）。$k=2.5$、$x=0.3$ で数値確認すると、60 項の和は $0.409963413001697$、一方 $(0.7)^{2.5}=0.409963413001697$ である ✓。