f(x) = 2x² − 3x + 4 について、h ≠ 0 として差分商 (f(x + h) − f(x))/h を求めて整理せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   x + h という式全体を代入して f(x + h) を作る。 規則の中の $x$ をすべて置き換える。かっこも忘れずに：

   $f(x+h)=2(x+h)^{2}-3(x+h)+4.$

2. 2

   丁寧に展開する。 中央の項を落としがちなのがこの 2 乗の段階である。$(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ なので

   $f(x+h)=2x^{2}+4xh+2h^{2}-3x-3h+4.$

3. 3

   f(x) を引き、何が消えるかを見る。 $f(x)=2x^{2}-3x+4$ なので、$h$ を含まない項はすべて消える：

   $f(x+h)-f(x)=\left(2x^{2}-2x^{2}\right)+4xh+2h^{2}+\left(-3x+3x\right)-3h+\left(4-4\right)=4xh+2h^{2}-3h.$

   ここで $h$ を含まない項が生き残ったなら、それは代数の誤りである——分子は $h$ で割り切れなければならない。

4. 4

   分子から h をくくり出す。

   $4xh+2h^{2}-3h=h\left(4x+2h-3\right).$

5. 5

   h を約分する。 これが許されるのは、まさに $h\neq 0$ が与えられているからである：

   $\frac{h\left(4x+2h-3\right)}{h}=4x+2h-3.$

6. 6

   結果を解釈する。 $h\to 0$ とすると $4x-3$ になり、これはちょうど $f'(x)$ である——差分商とは、極限をとる前の導関数にほかならない。これは答えの手早い確認にもなる。$2x^2-3x+4$ を項ごとに微分して $4x-3$ になることを確かめればよい。