微分方程式 y'' + 4y = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   指数関数を試行解として代入する。 定数係数の線形常微分方程式では、$y=e^{rx}$ とおけば方程式は必ず代数方程式に変わる。

   $y=e^{rx}\Rightarrow y''=r^2e^{rx}$

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   特性方程式を作る。 代入して、決して 0 にならない $e^{rx}$ でくくると

   $r^2e^{rx}+4e^{rx}=e^{rx}\left(r^2+4\right)=0\quad\Longrightarrow\quad r^2+4=0$

   となる。

3. 3

   $r$ について解く。

   $r^2=-4\quad\Longrightarrow\quad r=\pm 2i$

   純虚数の解は、増大も減衰もしない純粋な振動を意味する。

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   複素指数を実数の形に直す。 解が $r=\alpha\pm\beta i$ のとき、実数の一般解は $e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)$ である。ここでは $\alpha=0$、$\beta=2$ なので指数の包絡線は $e^{0}=1$ となり

   $y(x)=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$

   が得られる。

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   直接代入して検算する。 $y=\cos 2x$ では $y''=-4\cos 2x$ なので $y''+4y=0$ $\checkmark$。$y=\sin 2x$ では $y''=-4\sin 2x$ で、やはり $0$ $\checkmark$。方程式が線形なので、この 2 つの任意の線形結合も解になる。物理的には、角振動数 $\omega=2$、周期 $\pi$ の単振動である。