次は正しいか。まとめた項の級数 (a_{3n−2} + a_{3n−1} + a_{3n}) が収束し、かつ a_n → 0 であれば、a_n の級数は収束する。証明するか反例を挙げよ。

Step-by-step solution

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   2 つの仮定を部分和の言葉に翻訳する。 $S_N=\sum_{k=1}^{N}a_k$ とおく。項を 3 個ずつまとめても並べ替えや省略は起こらないので、まとめた級数の第 $n$ 部分和はちょうど

   $\left(a_1+a_2+a_3\right)+\cdots+\left(a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}\right)=S_{3n}$

   である。つまり 1 つ目の仮定は、部分列 $S_{3n}$ がある極限 $S$ に収束する、とちょうど述べている。

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   まだ足りないものを見極める。 部分列が収束するだけでは列全体の収束は言えない——残る部分和 $S_{3n+1}$ と $S_{3n+2}$ も同じ極限に近づくことを示さねばならない。2 つ目の仮定はまさにそのためにある。

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   中間の 2 つの部分和を処理する。

   $S_{3n+1}=S_{3n}+a_{3n+1},\qquad S_{3n+2}=S_{3n}+a_{3n+1}+a_{3n+2}$

   $a_k\to 0$ なので $a_{3n+1}\to 0$、$a_{3n+2}\to 0$ となり

   $S_{3n+1}\to S+0=S,\qquad S_{3n+2}\to S+0+0=S$

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   3 つの部分列を合わせる。 どの添字 $N$ も $3n$、$3n+1$、$3n+2$ のいずれかの形をしており、$\{S_N\}$ の 3 つの部分列はすべて同じ極限 $S$ に向かう。有限個の部分列にすべての添字が分かれ、それらがすべて $S$ に収束するなら、列自体も $S$ に収束する：

   $\lim_{N\to\infty}S_N=S\quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n=S$

   $\boxed{\text{この主張は真である}}$

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   2 つ目の仮定を外せない理由。 $a_n\to 0$ がなければ主張は破綻する。$a_n=1,-1,0,1,-1,0,\ldots$ とすると、3 個ずつの組はどれも $0$ になるのでまとめた級数は収束するが、部分和 $S_N$ は $1,0,0,1,0,0,\ldots$ と巡り続けて落ち着かない。ここでは $a_n\not\to 0$ であり、仮定が塞いでいるのはまさにこの抜け道である。

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   よく出回っている「反例」に注意する。 解答例のなかには $a_n=\tfrac{(-1)^n}{n}$ を反例として挙げるものがあるが、$\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ は交代級数の判定法により（$-\ln 2$ に）収束するので、何の反証にもなっていない。本物の反例は 2 つの仮定のどちらかを破っていなければならない——そして上の証明により、そのようなものは存在しない。