n = 1 から無限大までの 1/(1 + n (ln n)²) の和が収束するかを判定し、その値を見積もれ。

Step-by-step solution

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   最初の項だけ別に扱う。 $n=1$ では $\ln 1=0$ なので、その項は $\dfrac{1}{1+0}=1$ である。興味深い挙動は $n=2$ から始まるので、次のように書く：

   $S=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}$

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   ベルトラン級数と比較する。 $n\ge 2$ では $+1$ は分母を大きくするだけなので

   $0<\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}<\frac{1}{n\left(\ln n\right)^{2}}$

   が成り立つ。そして $\sum_{n\ge 2}\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}}$ が収束するのはちょうど $p>1$ のときである。いまは $p=2$ なので比較級数は収束し、与えられた級数も収束する。

3. 3

   $p>1$ が境目になる理由を見る。 置換 $u=\ln x$ により積分判定法は

   $\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}}=\frac{1}{\ln 2}$

   となり、$u$ の指数が 1 を超えているので有限である。$p=1$ だと同じ置換で $\int du/u$ になり発散する——古典的な境界例である。

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   初等的な閉じた形が存在しないことを受け入れる。 $\sum 1/n^{2}=\pi^{2}/6$ とは違い、この和は標準的な定数を使った既知の表示を持たない。したがって誠実な答えは、収束するという判定と数値である。

5. 5

   部分和そのままではなく、尾部の積分で値を見積もる。 収束は極端に遅い。$N$ 項までで打ち切った残りは近似的に

   $\int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\frac{1}{\ln N}$

   である。$N=10^{7}$ での部分和は $2.42985$ だが、尾部はまだ $0.06204$ もある——そこで止めて $2.43$（あるいは $2.42$）と報告すると、答えを $2\%$ 以上小さく見積もることになる。

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   部分和と尾部を足し合わせる。 打ち切り点を変えてこの 2 つを足すと、安定した値が得られる：

   $N=10^{4}:\ 2.38332+0.10857=2.49189,\qquad N=10^{7}:\ 2.42985+0.06204=2.49189$

   よって

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}\approx 2.4919$

   $N$ が 3 桁変わっても一致することが、この見積もりを信頼できるものにしている。