次の各関数の導関数を求めよ：y = 1/√x、y = x/2 - 2/x、y = x(√x - x)、y = (3x - 2)(3x + 2)。

Step-by-step solution

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   4 つに共通するものに気づく。 書かれたままではどれも単純な冪の和ではない。根号、商、積が含まれている。冪の法則 $\dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ は冪にしか使えないので、それぞれまず書き直す必要がある。そうするほうが、商や積の微分法に手を伸ばすよりほとんど常に速い。

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   (1) 根号を負の分数の冪に書き直す。

   $y=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}\ \Longrightarrow\ y'=-\tfrac12 x^{-3/2}=-\frac{1}{2x^{3/2}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}.$

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   (2) 商を 2 つの単純な項に分ける。

   $y=\tfrac12 x-2x^{-1}\ \Longrightarrow\ y'=\tfrac12-2(-1)x^{-2}=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^{2}}.$

   第 2 項の符号の反転がよくある落とし穴である。$-2x^{-1}$ を微分すると $+2x^{-2}$ になる。

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   (3) 微分する前に積を展開する。

   $y=x\left(x^{1/2}-x\right)=x^{3/2}-x^{2}\ \Longrightarrow\ y'=\tfrac32 x^{1/2}-2x=\frac{3\sqrt{x}}{2}-2x.$

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   (4) 共役な組を展開する。 平方の差なので中間の項が打ち消し合う。

   $y=(3x)^{2}-2^{2}=9x^{2}-4\ \Longrightarrow\ y'=18x.$

   定数 $-4$ を微分すると $0$ になる。

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   4 つの答えをまとめる。

   $y'=-\frac{1}{2x^{3/2}},\qquad y'=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^{2}},\qquad y'=\frac{3\sqrt{x}}{2}-2x,\qquad y'=18x.$

   (1) と (3) の定義域は $x>0$、(2) は $x\neq 0$ である。いずれの結果も、書き直す前のもとの形を記号的に微分して確認済みである。