x が 9 に近づくときの (x - 9)/(sqrt(x) - 3) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   形を確認する。 $x=9$ では分子が $0$、分母は $3-3=0$ なので、これは $\frac{0}{0}$ である。

2. 2

   $x$ を平方と見る。 $x>0$ では $x=\left(\sqrt{x}\right)^2$ なので $x-9=\left(\sqrt{x}\right)^2-3^2$ となり、これは変数 $\sqrt{x}$ についての平方の差である。

3. 3

   分子を因数分解する。 $x-9=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)$ である。第 1 の因子がちょうど分母なので、共役式を掛ける必要はまったくない。

4. 4

   約分する。 $x\neq 9$ では商は $\sqrt{x}+3$ に簡約され、これは $x\ge 0$ で連続な関数である。

5. 5

   代入する。 $\sqrt{9}+3=3+3=6$ である。

6. 6

   近道について触れておく。 共役式 $\sqrt{x}+3$ を掛けても同じ簡約が得られる。平方の差だと見抜けば、その 1 行分の手間が省けるというだけである。