n = 1 から無限大までの 1/(1 + n^2 ln n) の和の上界を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $n=1$ を切り離して扱う。 $\ln 1=0$ なので第 1 項は $\dfrac{1}{1+0}=1$ であり、級数全体で最大の項である。しかも $\ln n$ を使う比較ではこの項を覆えない。そこで切り離す。

   $S=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1+n^{2}\ln n}$

2. 2

   $+1$ を落として各項を大きくする。 $n\ge 2$ では $1+n^{2}\ln n>n^{2}\ln n>0$ なので、分母を小さくすれば分数は大きくなる。

   $\frac{1}{1+n^{2}\ln n}<\frac{1}{n^{2}\ln n}$

   評価の議論では、すべての不等式が同じ向きに働かなければならない。ここでは 2 つとも同じ向きである。

3. 3

   $\ln n$ をこの範囲での最小値に置き換える。 $n\ge 2$ では $\ln n\ge\ln 2$ なので

   $\frac{1}{n^{2}\ln n}\le\frac{1}{n^{2}\ln 2}$

   これが、扱いにくい対数付きの級数をただの $p$ 級数に変える段階である。ただし精度は多少犠牲になる。

4. 4

   比較級数を厳密に足し上げる。 バーゼル問題の結果から第 1 項を引くと

   $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-1\approx 0.644934$

5. 5

   上界をまとめる。

   $S<1+\frac{1}{\ln 2}\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)=1+\frac{0.644934}{0.693147}=1.93044$

   この級数は収束し、その和は確実に $1.93044$ より小さい。

6. 6

   上界の精度を評価する。 300 万項まで足すと $S\approx 1.4976$ なので、上界はおよそ $0.43$ だけ過大である。緩みの大部分はステップ 3 から来ている。$\ln n$ を $\ln 2$ に置き換えるのは、$\ln n$ がずっと大きくなる大きな $n$ では過剰な譲歩だからである。たとえば $n=10$ で和を分割し、それ以降は $\ln 10$ を使えば評価はかなり締まる。