0 から 2π まで、x について 1 を定積分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず積分を図形的に読む。 $y=1$ のグラフは高さ $1$ の水平な直線なので、この積分は区間 $[0,2\pi]$ 上にある高さ $1$ の長方形の面積である。面積は底辺 × 高さ、つまり区間の長さにほかならない——微積分を使う前に、答えが $2\pi$ になるはずだと分かる。

2. 2

   原始関数を求める。 $F'(x)=1$ となる $F$ が要るが、

   $\frac{d}{dx}(x)=1$

   なので $F(x)=x$ でよい。（これは $n=0$ のときのべき乗の積分公式 $\int x^0dx=\tfrac{x^1}{1}$ である。）

3. 3

   微分積分学の基本定理を適用する。

   $\int_{0}^{2\pi}1\,dx=\Bigl[x\Bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi-0=2\pi$

4. 4

   数値で示す。

   $2\pi=6.283185307\ldots\approx6.2832$

5. 5

   ここに現れている一般則を押さえる。 任意の定数 $c$ と $a<b$ なる積分区間に対して

   $\int_a^b c\,dx=c(b-a)$

   が成り立つ。つまり被積分関数が $1$ なら長さを測ることになる。応用の積分で $\int_a^b1\,dx$ が「総時間」や「総質量」の項として現れるのはまさにこのためであり、ここでの上端 $2\pi$ が 1 回転を表す量として三角関数の計算に絶えず登場するのも同じ理由である。

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   長方形としての読みと突き合わせる。 高さ $1$ に底辺 $2\pi-0=2\pi$ を掛けると $2\pi$ ✓ となり、基本定理の結果とぴったり一致する。