直線上を動く粒子の変位はメートル単位で s = 5t^3 + 3t + 8（t は秒）である。t = 5 秒での速度と加速度を求めよ。

Step-by-step solution

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   それぞれの導関数が何を表すかを押さえる。 速度は変位の瞬間変化率 $v=\frac{ds}{dt}$ であり、加速度は速度の変化率 $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}$ である。等加速度運動の公式は不要で、微分だけで両方が求まる。

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   1 回微分して速度を得る。 項ごとにべきの微分公式を使うと $v(t)=15t^2+3$ となる。定数 $8$ が消えるのは、位置の一定のずれが粒子の速さに影響しないからである。

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   もう 1 回微分して加速度を得る。 $a(t)=30t$ である。これは定数ではないので、この運動は等加速度運動ではない。

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   速度に $t=5$ を代入する。 $v(5)=15(5)^2+3=15(25)+3=375+3=378$ メートル毎秒。

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   加速度に $t=5$ を代入する。 $a(5)=30(5)=150$ メートル毎秒毎秒。

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   符号の妥当性を確かめる。 どちらの値も正なので、$t=5$ s において粒子は正の向きに動いており、なお加速している。これは狭義単調増加の 3 次関数と整合する。