tan(x)/(1 + x^2) のマクローリン展開を 7 次の項まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   繰り返し微分するのではなく掛け算を選ぶ。 $f^{(7)}(0)$ を直接計算するのは骨が折れる。代わりに、すでに知っている 2 つの級数を掛け合わせ、次数 $\le 7$ の項だけを残す。

   $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+O\!\left(x^9\right)$

   $\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+O\!\left(x^8\right)$

   後者は等比級数 $\sum(-1)^n x^{2n}$ であり、$|x|<1$ で正しい。

2. 2

   奇数次しか残りえないことに注意する。 $\tan x$ は奇関数、$\dfrac{1}{1+x^2}$ は偶関数なので、その積は奇関数である——偶数次の係数はすべて消えなければならない。これで計算量が半分になり、その場で使える検算にもなる。

3. 3

   $x^3$ と $x^5$ の係数を集める。 タンジェントの級数の各項と等比級数の各項を掛け、同じ次数をまとめる。

   $[x^3]:\; 1\cdot(-1)+\frac13\cdot 1=-\frac23$

   $[x^5]:\; 1\cdot 1+\frac13\cdot(-1)+\frac{2}{15}\cdot 1=\frac{15-5+2}{15}=\frac{12}{15}=\frac45$

4. 4

   $x^7$ の係数を集める。 寄与する積は 4 つある。

   $[x^7]:\;1\cdot(-1)+\frac13\cdot 1+\frac{2}{15}\cdot(-1)+\frac{17}{315}\cdot 1$

   共通分母 $315$ でまとめると $\dfrac{-315+105-42+17}{315}=\dfrac{-235}{315}=-\dfrac{47}{63}$ となる。

5. 5

   級数を組み立てて数値で試す。

   $\frac{\tan x}{1+x^2}=x-\frac{2}{3}x^3+\frac{4}{5}x^5-\frac{47}{63}x^7+O\!\left(x^9\right)$

   $x=0.1$ では打ち切った級数が $0.09934125873$、いっぽう $\tan(0.1)/1.01=0.09934125949$ であり、小数第 $8$ 位まで一致する。これはまさに $O(x^9)$ の誤差項が予測する精度である $\checkmark$。