x の2乗 かける e^x の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積の形を見抜き、多項式が縮むように $u$ を選ぶ。 被積分関数は多項式と指数関数の積で、これは部分積分の典型的な合図である：

   $\int u\,dv=uv-\int v\,du$

   $u=x^2$、$dv=e^x\,dx$ と選ぶ。理由は、$x^2$ を微分すると次数が下がる一方、$e^x$ は積分しても変わらないからである。つまり公式を1回使うたびに、計算できる積分へ確実に近づいていく。逆に選ぶ（$u=e^x$）と次数が $x^3$ に上がり、かえって悪くなる。

2. 2

   公式の1回目の適用。 $u=x^2$、$dv=e^x\,dx$ とすると $du=2x\,dx$、$v=e^x$ なので、

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int e^x\cdot 2x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx$

   残った積分は同じ形で、$x^2$ が $x$ に変わっている。狙い通り次数が1つ下がった。

3. 3

   2回目の適用、$\int xe^x\,dx$ に対して。 $u=x$、$dv=e^x\,dx$ とすると $du=dx$、$v=e^x$：

   $\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x$

   一般に $\int x^n e^x\,dx$ には $n$ 回の適用が必要である。1回ごとに次数が1つ下がるからである。ここでは $n=2$ なので、ちょうど2回になる。

4. 4

   代入し戻して整理する。 2つ目の結果を1つ目に入れると：

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\big(xe^x-e^x\big)=x^2e^x-2xe^x+2e^x$

   共通因子 $e^x$ をくくり出すと、すっきりした形になる：

   $\int x^2e^x\,dx=e^x\left(x^2-2x+2\right)+C$

   定数 $C$ を忘れないこと。付けるのは最後に1度だけで、1回ごとに付けるのではない。

5. 5

   答えを微分して検証する。 不定積分ではこの検算がつねに使える。積の微分法により、

   $\frac{d}{dx}\Big[e^x\big(x^2-2x+2\big)\Big]=e^x\big(x^2-2x+2\big)+e^x\big(2x-2\big)=e^x\big(x^2-2x+2+2x-2\big)=x^2e^x$

   1次の項が打ち消し合い、もとの被積分関数がぴたりと戻ってくるので、この原始関数は正しい。

6. 6

   再利用できるパターンとして押さえる。 符号が交互に現れるこの構造は一般化できる：

   $\int x^ne^x\,dx=e^x\left(x^n-nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}-\cdots\pm n!\right)+C$

   $n=2$ ならこれは $e^x(x^2-2x+2)+C$ となり、いま導いたものと一致する。これを知っていれば、$\int x^3e^x\,dx=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C$ を3回も計算し直さずに書き下せる。